设a1，a2，…，an是各项均不为零的n项等差数列，且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列是等比数列。

题文

（1）设a₁，a₂，…，a_n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列。
（i）当n=4时，求

的数值；
（ii）求n的所有可能值。
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d₀=0
事实上，设这个数列中的连续三项a-d₀，a，a+d₀成等比数列，则a²=（a-d₀）（a+d₀），由此得d₀=0
（1）（i）当n=4时，由于数列的公差d≠0，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a₂或a₃
①若删去a₂，则由a₁，a₃，a₄成等比数列，得


因d≠0，故由上式得a²=-4d，即


此时数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设；
②若删去a₃，则由a₁，a₂，a₄成等比数列，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
因d≠0故由上式得a₁=d，即


此时数列为d，2d，3d，4d，满足题设
综上可知，

的值为-4或1。
（ii）若n≥6，则从满足题设的数列a₁，a₂，…a_n中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a₁，a₂，…，a_n的公差必为0，这与题设矛盾
所以满足题设的数列的项数n≤5
又因题设n≥4，故n=4或5
当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。
当n=5时，若存在满足题设的数列


则由“基本事实”知，删去的项只能是a₃，从而


成等比数列
故


分别化简上述两个等式，得


，故d=0
矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列，综上可知，n只能为4。
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d'的n项等差数列



其中三项

成等比数列
这里


则有


化简得


由b₁d'≠0知

或同时为零，或均不为零
若


则有


即

矛盾
因此

都不为零
故由（*）得


因为

均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而

是一个有理数
于是，对于任意的正整数n≥4，只要取

为无理数，则相应的数列

就是满足要求的数列，例如，取

那么n项数列

满足要求。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“（1）设a1，a2，…，an.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．