证明以下命题：(Ⅰ)对任一正整数a，都存在正整数b，c(b＜c)，使得a2，b2，c2成等差数列；(Ⅱ)存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an

题文

证明以下命题：
(Ⅰ)对任一正整数a，都存在正整数b，c(b＜c)，使得a²，b²，c²成等差数列；
(Ⅱ)存在无穷多个互不相似的三角形△_n，其边长a_n，b_n，c_n为正整数且a_n²，b_n²，c_n² 成等差数列。 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：(Ⅰ)易知1²，5²，7²成等差数列，则a²，(5a)²，(7a)²也成等差数列，
所以对任一正整数a，都存在正整数b=5a，c=7a(b＜c)，使得a²，b²，c²成等差数列．
(Ⅱ)若a_n²，b_n²，c_n² 成等差数列，则有b_n²-a_n²=c_n²-b_n²，
即(b_n-a_n)(b_n+a_n)=(c_n-b_n)(c_n+b_n)， ①
选取关于n的一个多项式，例如4n(n²-1)，使得它可按两种方式分解因式，
由于4n（n²-1）=(2n-2)(2n²+2n)=(2n+2)(2n²-2n)，
因此令

，
可得

，
易验证a_n，b_n，c_n满足①，因此a_n²，b_n²，c_n² 成等差数列，
当n≥4时，有a_n＜b_n＜c_n且a_n+b_n-c_n=n²-4n+1＞0，
因此以a_n，b_n，c_n为边长可以构成三角形，将此三角形记为△_n(n≥4)．
其次，任取正整数m，n（m，n≥4，且m≠n），假若三角形△_m与△_n相似，
则有

，
据比例性质有

，


，
所以

，由此可得m=n，与假设m≠n矛盾，
即任两个三角形△_m与△_n(m，n≥4，m≠n)互不相似；
所以存在无穷多个互不相似的三角形△_n，其边长a_n，b_n，c_n为正整数且a_n²，b_n²，c_n² 成等差数列。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“证明以下命题：(Ⅰ)对任一正.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．