已知在直角坐标系中，，其中数列{an}，{bn}都是递增数列．若an=2n+1，bn=3n+1，判断直线A1B1与A2B2是否平行；若数列{a

题文

已知在直角坐标系中，

，其中数列{a_n}，{b_n}都是递增数列．
（1）若a_n=2n+1，b_n=3n+1，判断直线A₁B₁与A₂B₂是否平行；
（2）若数列{a_n}，{b_n}都是正项等差数列，设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为S_n（n∈N*），求证：{S_n}也是等差数列；
（3）若

≥﹣12，记直线A_nB_n的斜率为k_n，数列{k_n}的前8项依次递减，求满足条件的数列{b_n}的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）解：由题意A₁（3，0），B₁（0，4），A₂（5，0），B₂（0，7），
所以

，


，
因为

，所以A₁B₁与A₂B₂不平行．
（2）证明：因为{a_n}，{b_n}为等差数列，设它们的公差分别为d₁和d₂，
则a_n=a₁+（n﹣1）d₁，b_n=b₁+（n﹣1）d₂，a_n+1=a₁+nd₁，b_n+1=b₁+nd₂
由题意


所以

[b1+（n﹣1）d2]}=

，
所以

，
所以S_n+1﹣S_n=d₁d2是与n无关的常数，
所以数列{S_n}是等差数列
（3）解：因为A_n（a_n，0），B_n（0，b_n），
所以

=


又数列{k_n}前8项依次递减，
所以



=

＜0，
对1≤n≤7（n∈Z）成立，
即a_n﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立．
又数列{b_n}是递增数列，所以a＞0，故只要n=7时，7a﹣a+b=6a+b＜0即可．
又b₁=a+b≥﹣12，联立不等式

作出可行域（如下图所示），易得a=1或2，
当a=1时，﹣13≤b＜﹣6即b=﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7个解；
当a=2时，﹣14≤b＜﹣12，即b=﹣14，﹣13，有2个解，
所以数列{bn}共有9个．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知在直角坐标系中，，其中数列{a.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．