设f(x)=xa(x+2)，x=f有唯一解，f(x1)=11003，f=xn+1．求x2004的值；若an=4xn-400

题文

设f(x)=xa(x+2)，x=f（x）有唯一解，f(x1)=11003，f（x_n）=x_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求x₂₀₀₄的值；
（Ⅱ）若an=4xn-4009，且bn=a2n+1+a2n2an+1an(n∈N*)，求证：b₁+b₂+…+b_n-n＜1；
（Ⅲ）是否存在最小整数m，使得对于任意n∈N*有xn＜m2005成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（Ⅰ）由x=xa(x+2)，可以化为ax（x+2）=x，
∴ax²+（2a-1）x=0，
由△=（2a-1）²=0得
当且仅当a=12时，x=f（x）有惟一解x=0，
从而f(x)=2xx+2…（1分）
又由已知f（x_n）=x_n+1得：2xnxn+2=xn+1，
∵1xn+1=12+1xn，
即1xn+1-1xn=12(n∈N*)
∴数列{1xn}是首项为1x1，公差为12的等差数列…（3分）
∴1xn=1x1+n-12=2+(n-1)x12x1，
∴xn=2x1(n-1)x1+2
又∵f(x1)=11003，
∴2x1x1+2=11003，即x1=22005…（4分）
∵xn=2×22005(n-1)•22005+2=2n+2004…（5分）
故x2004=22004+2004=12004…（6分）
（Ⅱ）证明：∵xn=2n+2004，
∴an=n+20042×4-4009=2n-1…（7分）
∴bn=a2n+a2n-12anan+1=(2n-1)2+(2n+1)22(2n-1)(2n+1)=4n2+14n2-1
=1+2(2n-1)(2n+1)=1+12n-1-12n+1…（8分）
∴b1+b2+…+bn-n=(1+1-13)+(1+13-15)+…+(1+12n-1-12n+1)-n
=1-12n+1＜1…（10分）
（Ⅲ）由于xn=2n+2004，若2n+2004＜m2005(n∈N*)恒成立，
∵(2n+2004)max=22005，
∴m2005＞22005，
∴m＞2，而m为最小正整数，
∴m=3…（12分）

解析

xa(x+2)

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)=xa(x+2)，x=f（x）.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．