已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=324．求证：tgA•tgB=19；当∠C最大时，

题文

（理）已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=324．
（1）求证：tgA•tgB=19；
（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求|MC||AB|的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵|z|2=[52sinA+B2]2+[cosA-B2]2=[324]2…（2分）
∴54•1-cos(A+B)2+1+cos(A-B)2=98，
整理可得：4cos（A-B）=5cos（A+B），即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，
∴9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴tgA•tgB=19…（5分）
（2）tgC=-tg(A+B)=-98(tgA+tgB)≤-94tgA•tgB=-34，
当且仅当tgA=tgB=13时，tgC最大，即∠C最大 …（8分）
设|AB|=2a，
∵|MA|+|MB|=2|AB|=4a，
∴M在以A，B为焦点的椭圆上，椭圆长半轴为2a，半焦距为a，短半轴为3a，…（10分）
以直线AB为x轴，AB中点为原点，建立坐标系，
设椭圆方程为x24a2+y23a2=1，M(x，y)则|MC|2|AB|2=x2+(y-a3)24a2=-y212a2-y6a+3736=-112a2(y+a)2+109(-3a≤y≤3a)
所以，当y=-a时，(|MC||AB|)max=103…（13分）

解析

52

考点

据考高分专家说，试题“（理）已知复数z=52sinA+B2+i.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．