数列{an}的前n项和为Sn，Sn=-man对任意的n∈N*都成立，其中m为常数，且m＜-1．求证：数列{an}是等比数列；记

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），S_n=（m+1）-ma_n对任意的n∈N^*都成立，其中m为常数，且m＜-1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）记数列{a_n}的公比为q，设q=f（m）．若数列{b_n}满足；b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*）．求证：数列{1bn}是等差数列；
（3）在（2）的条件下，设c_n=b_n•b_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=S₁=1，∵S_n=（m+1）-ma_n，①
∴S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），②
①-②得：a_n=ma_n-1-ma_n（n≥2），
∴（m+1）a_n=ma_n-1．∵a₁≠0，m＜-1，
∴a_n-1≠0，m+1≠0，∴anan-1=mm+1(n≥2)．
∴数列a_n是首项为1，公比为mm+1的等比数列．
（2）f(m)=mm+1，b1=a1=1，bn=f(bn-1)=bn-1bn-1+1，
∴1bn=b n-1+1bn-1，∴1bn-1bn-1=1(n≥2)，
∴数列{1bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）得1bn=n，则bn=1n．cn=bn•bn+1=1n(n+1)，
Tn=11×2+12×3+…+1n(n+1)=11-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1＜1．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*）.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．