对于数列an，已知an是一个公差不为零的等差数列，a5=6．①当a3=2时，若自然数n1，n2，…，nt，…满足5＜n1＜n2＜…＜nt＜…，且a3，a5

题文

对于数列a_n，（1）已知a_n是一个公差不为零的等差数列，a₅=6．
①当a₃=2时，若自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…是等比数列，试用t表示n_t；
②若存在自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…构成一个等比数列．求证：当a₃是整数时，a₃必为12的正约数．
（2）若数列a_n满足a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，且a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项，求a₁的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①因为a₃=2，a₅=6，所以，公差d=a5-a32=2，
从而a_n=a₅+（n-5）d=2n-4（2分）
又a₃，a₅，a_n1，a_n2，a_nt，是等比数列，所以公比q=a5a3=3，所以
a_nt=a₅•3^t=2•3^t+1，t∈N^*．
又a_nt=2n_t-4，所以2n_t-4=2•3^t+1，所以
n_t=3^t+1+2，t∈N^*．（4分）
②因为n₁＞5时，a₃，a₅，a_n1成等比数列，所以a₃a_n1=a₅²，即an1=a25a3=36a3．（6分）
所以当n≥3时，
an1=a3+(n1-3)•a5-a32=a3+6-a32(n1-3)，
所以36a3=a3+6-a32(n1-3)，
即36a3-a3=6-a32(n1-3)，
所以36-a23a3=6-a32(n1-3)．
因为6-a3≠0，所以6+a3a3=n1-32，解得n1=5+12a3．
因为n₁是整数，且n₁＞5，所以12a3是正整数，从而整数a₃必为12的正约数．（8分）
（2）由a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，得a_n+1a_n+2a_n+1+2a_n+4=a_n-a_n+1，
即（a_n+1+2）（a_n+2）=（a_n+2）-（a_n+1+2）．（*）（10分）
由（*）知：若存在a_k=-2，则a_k+1=-2；若存在a_k+1=-2，则a_k=-2，所以a_n是常数列，与“a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项”矛盾，因此（a_n+1+2）（a_n+2）≠0．
由（*）式知1an+1+2-1an+2=1，从而数列{1an+2}是首项为1a1+2，公差为1的等差数列，即1an+2=1a1+2+(n-1)．（12分）
方法一由于数列{1an+2}是递增数列，且a₂₀₀₉小于数列{a_n}中的其他任何一项，即a₂₀₀₉+2小于数列{a_n+2}中的其他任何一项，所以a₂₀₀₉+2＜0，
且a₂₀₁₀+2＞0，这是因为若a₂₀₀₉+2＞0，则由1a2009+2＜1a2010+2，
得a₂₀₀₉+2＞a₂₀₁₀+2＞0，即a₂₀₀₉＞a₂₀₁₀，与
“a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项”矛盾：若a2010+2＜0，则由1a2009+2＜1a2010+2，得a2010+2＜a2009+2＜0，即a2009＞a2010，与“a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项”矛盾：因此，a2009+2＜0，且1a2009+2=1a2010+2-1＞-1，从而-1＜1a2009+2＜0，
即-1＜1a1+2+2008＜0，即-2009＜1a1+2＜-2008，
即-12008＜a1+2＜-12009，
即-1＜12008-2＜a1＜-12009-2，即-40172008＜a1＜-40192009．(15分)
综上，a₁的取值范围是(-40172008，-40192009)．(16分)
方法二1an+2=n-(1-1a1+2)，即an+2=1n-(1-1a1+2)，所以
当n＜1-1a1+2时，a_n+2单调递增，且a_n+2＜0；
当n＞1-1a1+2时，2+a_n单调递减，且a_n+2＞0．
由于a₂₀₀₉小于数列{a_n}中的其他任何一项，即a₂₀₀₉+2小于数列{a_n+2}中的其他任何一项，
所以a₂₀₀₉+2＜0，且a₂₀₁₀+2＞0，
即2009＜1-1a1+2＜2010，
即-2009＜1a1+2＜-2008，
即-12008＜a1+2＜12009；
解得-40172008＜a1＜-40192009．
综上，a₁的取值范围是(-40172008，-40192009)．（16分）

解析

a5-a32

考点

据考高分专家说，试题“对于数列an，（1）已知an是一个公差不.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．