已知数列{an}满足an+1=2an+2n+2-1，a1=3，求证：数列{an-12n}为等差数列；求数列{an}的前n项的和Sn；令1bn-

题文

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²-1，a₁=3，
（1）求证：数列{an-12n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项的和S_n；
（3）令1bn-1=an-12n，Tn为数列{b_n}的前n项的积，求证：T_n＞2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）an+1=2an+2n+2-1⇒an+1-1=2(an-1)+2n+2⇒an+1-12n+1=an-12n+2，
∴{an-12n}是公差为2，首项为1的等差数列
（2）由（1）知：an-12n=2n-1，
∴an=(2n-1)•2n+1Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+n
令An=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2An=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：An=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹
∴Sn=n+6+(2n-3)•2n+1
（3）∵1bn-1=an-12n=2n-1
∴bn=2n2n-1，
∵T_n=b₁b₂b₃•…•b_n
当n=1时，T1=b1=2＞2×1+1不等式成立
假设n=k（k∈N*）不等式b1•…•bk＞2k+1成立，
则当n=k+1时，有b1•…•bk•bk+1＞2k+1•2k+22k+1=2k+22k+1
∵2k+22k+1=4k2+8k+42k+1＞4k2+8k+32k+1=(2k+1)(2k+3)2k+1=2k+3
∴b1•…•bk+1＞2(k+1)+1即当n=k+1时不等式也成立．综上，当n∈N*时，原不等式成立．

解析

an+1-12n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an+1=2an+2.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．