题文
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n，bn=（-1）n（an-3n+9），其中λ为实数，n为正整数．（1）若数列{an}前三项成等差数列，求λ的值；
（2）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵a1=λ，∴a2=23a1+1=23λ+1，a3=23a2+2=23(23λ+1)+2=49λ+83．∵数列{an}前三项成等差数列，∴2a2=a1+a3，
∴2(23λ+1)=λ+49λ+83，解得λ=-6．
∴λ的值为-6．
（2）由（1）可知：若λ=-6，则an=-6+3（n-1）=3n-9，此时bn=0不是等比数列；
当λ≠-6时，an≠3n-9．
bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+9]=(-1)n+1(23an+n-3n+6)=-23×(-1)n(an-3n+9)=-23bn．
又b1=-（a1-3+9）=-λ-6≠0，
∴数列{bn}是以-λ-6为首项，-23为公比的等比数列．
（3）由（1）（2）可知：①当λ=-6时，bn=0，对于给定的0＜a＜b，对任意正整数n，0＜a＜Sn＜b不成立．
②当λ≠-6时，假设存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b成立．
由（2）可知：数列{bn}是以-λ-6为首项，-23为公比的等比数列，∴bn=(-λ-6)×(-23)n-1=(-1)n(λ+6)•(23)n-1．
∴Sn=（-λ-6）[1-23+(-23)2+…+(-23)n-1]=(-λ-6)•1-(-23)n1-(-23)=3(-λ-6)5[1-(-23)n]．
当n→+∞时，(-23)n→0．
当λ＞-6时，Sn＜0，此时对任意正整数n，a＜Sn＜b不成立．
当λ＜-6时，n=2k（k∈N*）时，∵59＜1-(-23)2k＜1，∴0＜-λ-63＜Sn＜3(-λ-6)5；
n=2k-1（k∈N*）时，1＜1-(-23)2k-1＜53，∴0＜3(-λ-6)5＜Sn＜(-λ-6)．
∵0＜-λ-63＜3(-λ-6)5＜（-λ-6）．
∴对于任意正整数n，0＜-λ-63＜Sn＜-λ-6．
∵设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b．
∴必有a≤-λ-63b≥-λ-6，解得-6-b≤λ≤-3a-6.(a≤b3)．
解析
23考点
据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
