设a1，a2，…，an是各项均不为零的n项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列是等比数列．当n=4时，

题文

（1）设a₁，a₂，…，a_n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当n=4时，求a1d的数值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①当n=4时，a₁，a₂，a₃，a₄中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0．
若删去a₂，则a₃²=a₁•a₄，即（a₁+2d）²=a₁•（a₁+3d）化简得a₁+4d=0，得a1d=-4
若删去a₃，则a₂²=a₁•a₄，即（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d）化简得a₁-d=0，得a1d=1
综上，得a1d=-4或a1d=1．
②当n=5时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中同样不可能删去a₁，a₂，a₄，a₅，否则出现连续三项．
若删去a₃，则a₁•a₅=a₂•a₄，即a₁（a₁+4d）=（a₁+d）•（a₁+3d）化简得3d²=0，因为d≠0，所以a₃不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a₁，a₂，a₃，…，a_n-2，a_n-1，a_n中，由于不能删去首项或末项，
若删去a₂，则必有a₁•a_n=a₃•a_n-2，这与d≠0矛盾；
同样若删去a_n-1也有a₁•a_n=a₃•a_n-2，这与d≠0矛盾；
若删去a₃，，a_n-2中任意一个，则必有a₁•a_n=a₂•a_n-1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）
综上所述，n=4．
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b₁，b₂，b_n，其中b_x+1，b_y+1，b_z+1（0≤x＜y＜z≤n-1）为任意三项成等比数列，则b²_y+1=b_x+1•b_z+1，即（b₁+yd）²=（b₁+xd）•（b₁+zd），化简得（y²-xz）d²=（x+z-2y）b₁d（*）
由b₁d≠0知，y²-xz与x+z-2y同时为0或同时不为0
当y²-xz与x+z-2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾．
故y²-xz与x+z-2y同时不为0，所以由（*）得b1d=y2-xzx+z-2y
因为0≤x＜y＜z≤n-1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而b1d为有理数．
于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要b1d为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．
例如n项数列1，1+2，1+22，，1+(n-1)2满足要求．

解析

a1d

考点

据考高分专家说，试题“（1）设a1，a2，…，an是各项均不为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．