已知数列{an}的通项公式为an=2+43n-1．求数列{an}的最大项；设bn=an+pan-2，试确定实常数p，使得{bn}为等比数

题文

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2+43n-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的最大项；
（2）设b_n=an+pan-2，试确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；
（3）设m，n，p∈N^*，m＜n＜p，问：数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）由题意a_n=2+43n-1，随着n的增大而减小，所以{a_n}中的最大项为a₁=4．
（2）b_n=2+43n-1+p43n-1=(2+p)(3n-1)+44=(2+p)3n+(2-p)4，若{b_n}为等比数列，
则b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*）所以[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[{2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N^*），
化简得（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ）=0即-（4-p²）•3ⁿ•4=0，解得p=±2．
反之，当p=2时，b_n=3ⁿ，{b_n}是等比数列；当p=-2时，b_n=1，{b_n}也是等比数列．
所以，当且仅当p=±2时{b_n}为等比数列．
（3）因为am=2+43m-1，an=2+43n-1，ap=2+43p-1，
若存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，
所以2(2+43n-1)=2+43m-1+2+43p-1，
化简得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）=1+3^p-m-2×3^n-m（*），
因为m，n，p∈N^*，m＜n＜p，
所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，
所以3^p-m≥3^p-n+1=3×3^p-n，3^p-m≥3^n-m+1=3×3^n-m，
（*）的左边≤3ⁿ（2×3^p-n-3×3^p-n-1）=3ⁿ（-3^p-n-1）＜0，
右边≥1+3×3^n-m-2×3^n-m=1+3^n-m＞0，所以（*）式不可能成立，
故数列{a_n}中不存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列．

解析

43n-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的通项公式为an=2+4.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．