设数列{an}的各项都是正数，记Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2．求证：an2=2Sn-an

题文

设数列{a_n}的各项都是正数，记S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²．
（Ⅰ）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=3n+(-1)n-1λ•2an（λ为非零常数，n∈N^*），问是否存在整数λ，使得对任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：∵a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，
当n=1时，a₁³=a₁²．
∵a₁＞0，∴a₁=1．
当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²．①a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²．②
①-②得  a_n³=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n）
∵a_n＞0，∴a_n²=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n，
即a_n²=2S_n-a_n．
∵a₁=1适合上式，
∴a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）．③
当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1．④
③-④得a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1．
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，可得a_n=n．（8分）
（Ⅲ）∵a_n=n，∴bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3n+(-1)n-1λ•2n．
欲使b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ] & & &=2•3n-3λ(-1)n-1•2n＞0，
即(-1)n-1•λ＜(32)n-1成立．⑤
当n=2k-1，k=1，2，3，…时，⑤式即为λ＜(32)2k-2．⑥
依题意，⑥式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1．
当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为λ＞-(32)2k-1．⑦
依题意，⑦式对k=1，2，3，…都成立，∴λ＞-32．
∴-32＜λ＜1，又λ≠0．
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．（12分）

解析

 & & &=2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的各项都是正数，记Sn为数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．