已知数列{an}满足a1=3，an+an-1=4n(n≥2)求证：数列{an}的奇数项，偶数项均构成等差数列；求{an}的通项公式；设bn=a

题文

已知数列{a_n}满足a1=3，an+an-1=4n (n≥2)
（1）求证：数列{a_n}的奇数项，偶数项均构成等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设bn=an2n，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由an+an-1=4n (n≥2)①，
得an+1+an=4(n+1) (n≥2)②，
②-①得an+1-an-1=4 (n≥2)，
所以数列{a_n}的奇数项，偶数项均构成等差数列，且公差都为4．
（2）由a₁=3，a₂+a₁=8得a₂=5，
故a_2n-1=3+4（n-1）=4n-1，a_2n=5+4（n-1）=4n+1，
由于a_2n-1=4n-1=2（2n-1）+1，a_2n=4n+1=2（2n）+1，所以a_n=2n+1；
（3）bn=an2n=2n+12n，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=32+522+…+2n+12n①，
12Sn=322+523+…+2n+12n+1②，
①-②得，12Sn=32+222+223+…+22n-2n+12n+1=32+222(1-12n-1)1-12-2n+12n+1=52-2n+52n+1，
所以Sn=5-2n+52n；

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=3，an+an.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．