已知数列{an}满足an+1=2an+n+1．若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；证明{an}不可能是等比数列；

题文

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1（n=1，2，3，…）．
（1）若{a_n}是等差数列，求其首项a₁和公差d；
（2）证明{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，是否存在实数k和b使得数列{ a_n+kn+b}是等比数列，如存在，求出{a_n}的前n项和，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=2a_n+n+1，∴a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，
∵{a_n}是等差数列，∴2a₂=a₁+a₃，∴2（2a₁+2）=a₁+（4a₁+7），∴a₁=-3，a₂=-4
∴d=a₂-a₁=-1；
（2）证明：假设{a_n}是等比数列，则a22=a1a3
∴（2a₁+2）²=a₁（4a₁+7），∴a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，
∵a₄=2a₃+4=-14，∴a32≠a2a4与等比数列矛盾
∴假设不成立
∴{a_n}不可能是等比数列；
（3）假设存在，则有an+1+k(n+1)+ban+kn+b=2an+k(n+1)+k+b+1an+kn+b=常数
∴k+1=2kk+b+1=2b，∴k=1b=2
∴{a_n+n+2}是等比数列，首项为2，公比为2
∴a_n+n+2=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-n-2
∴{a_n}的前n项和为2(1-2n)1-2-n(n+1)2-2n=2n-n22-5n2-1

解析

an+1+k(n+1)+ban+kn+b

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an+1=2an+n.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．