已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2．数列{bn}为等比数列，且b1=1，b4=8．求数列{an}，{bn}的通项公式；若数列{cn}满足

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足cn=abn，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，数列{c_n}中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，a₁=S₁=1亦满足上式，
故a_n=2n-1，（n∈N*）．       
又数列{b_n}为等比数列，设公比为q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，∴q=2．
∴b_n=2^n-1（n∈N*）．                      
（2）cn=abn=2bn-1=2n-1．
T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）=（2¹+2²+…2ⁿ）-n=2(1-2n)1-2-n．
所以 T_n=2ⁿ⁺¹-2-n．                               
（3）假设数列{c_n}中存在三项c_m，c_k，c_l成等差数列，不妨设m＜k＜l（m，k，l∈N*）
因为 c_n=2ⁿ-1，
所以 c_m＜c_k＜c_l，且三者成等差数列．
所以 2c_k=c_l+c_m，
即2（2^k-1）=（2^m-1）+（2^l-1），
变形可得：2•2^k=2^m+2^l=2^m（1+2^l-m）
所以 2k+12m=1+2l-m，即2^k+1-m=1+2^l-m．
所以 2^k+1-m-2^l-m=1．
因为m＜k＜l（m，k，l∈N*），
所以 2^k+1-m，2^l-m均为偶数，而1为奇数，
所以等式不成立．
所以数列{c_n}中不存在三项，使得这三项成等差数列．

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．