在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-an=2an+1+an-1(n∈N*)求数列{an}的通项公式；令cn=(2an-1)2，Sn

题文

在数列{a_n}中，已知an≥1，a1=1且an+1-a n=2an+1+an-1(n∈N*)
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令cn=(2an-1)2，Sn=1c1c2+1c2c3+…+1cncn+1，若S_n＜k恒成立，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为an+1-an=2an+1+an-1，
所以a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
即(an+1-12)2-(an-12)2=2，--（2分）
令bn=(an-12)2
b_n+1-b_n=2，
故{b_n}是以14为首项，2为公差的等差数列．
所以bn=14+2(n-1)=8n-74，--（4分）
因为a_n≥1，故an=1+8n-72．--（6分）
（II）因为c_n=（2a_n-1）²=8n-7，
所以1cncn+1=1(8n-7)(8n+1)=18(18n-7-18n+1)，--（8分）
所以Sn=1c1c2+1c2c3+…+1cncn+1=18(1-19+19-117+…+18n-7-18n+1)
=18(1-18n+1)＜18，--（10分）
因为S_n＜k恒成立，
故k≥18．--（12分）

解析

2an+1+an-1

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，已知an≥1，a1=1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．