已知集合A={a1，a2…an}具有性质P：对任意i，j，ai+aj与aj-ai至少一个属于A，

题文

已知集合A={a₁，a₂…a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j与a_j-a_i至少一个属于A，
（1）分别判断集合M={0，2，4}与N=（1，2，3）是否具有性质P，并说明理由；
（2）①求证：0∈A；②当n=3时，集合A中元素a₁、a₂、a₃是否一定成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）对于集合A中元素a₁、a₂、…a_n，若a_n=2012，求数列{a_n}的前n项和S_n（用n表示）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得，
对于集合M：得2-0=2，4-2=2，4-0=4，0-0=2-2=4-4=0，
∵2，4，0∈M，∴集合具有性质P．
对于集合N：得2+2=4，2-2=0，
∵4，0∉N，∴集合N不具性质P，
（2）证明：①∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3，
∴a_n+a_n=2a_n＞a_n，则a_n-a_n=0=a₁∈A，
②当n=3时，集合A中元素a₁，a₂，a₃一定成等差数列．
证明：当n=3时，0≤a₁＜a₂＜a₃，
∴0≤a₃-a₃＜a₃-a₂＜a₃-a₁，
且a₃+a₃＞a₃，∴a₃+a₃∉A，∴a₃-a₃=0∈A，∴a₁=0∈A，
则a₃+a₂＞a₃，∴a₃+a₂∉A，∴a₃-a₂∈A，
∴a₃-a₂=a₂，即a₃=2a₂，又∵a₁=0，∴2a₂=a₁+a₃，
故a₁，a₂，a₃成等差数列，
（3）由题意得，0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，∴0≤a_n-a_n＜a_n-a_n-1＜…＜a_n-a₁，
∴a_n+a_n-i＞a_n（i=1，2，…n-1），∴a_n-a_n-i∈A，
∴a₁=a_n-a_n，a₂=a_n-a_n-1，a₃=a_n-a_n-2，…a_n=a_n-a₁，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=na_n-（a₁+a₂+…+a_n），即S_n=na_n-S_n，
则S_n=n2an=n2×2012=606n．

解析

n2

考点

据考高分专家说，试题“已知集合A={a1，a2…an}（0≤a.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．