证明以下命题：对任一正整a，都存在整数b，c，使得a2，b2，c2成等差数列．存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正

题文

证明以下命题：
（1）对任一正整a，都存在整数b，c（b＜c），使得a²，b²，c²成等差数列．
（2）存在无穷多个互不相似的三角形△_n，其边长a_n，b_n，c_n为正整数且a_n²，b_n²，c_n²成等差数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）考虑到结构特征，取特值1²，5²，7²满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．
（2）证明：当a_n²，b_n²，c_n²成等差数列，则b_n²-a_n²=c_n²-b_n²，
分解得：（b_n+a_n）（b_n-a_n）=（c_n+b_n）（c_n-b_n）
选取关于n的一个多项式，4n（n²-1）做两种途径的分解4n（n²-1）=（2n-2）（2n²+2n）=（2n²-2n）（2n+2）4n（n²-1）
对比目标式，构造an=n2-2n-1bn=n2+1cn=n2+2n-1(n≥4)，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．
下证互不相似．
任取正整数m，n，若△_m，△_n相似：则三边对应成比例m2-2m-1n2-2n-1=m2+1n2+1=m2+2m-1n2+2n-1，
由比例的性质得：m-1n-1=m+1n+1⇒m=n，与约定不同的值矛盾，故互不相似．

解析

an=n2-2n-1bn=n2+1cn=n2+2n-1

考点

据考高分专家说，试题“证明以下命题：（1）对任一正整a，都存在.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．