对于数列{an} ，令bk为a1，a2，…，ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为

题文

对于数列{a_n} （n=1，2，…，m），令b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7．定义数列{C_n}：c₁，c₂，c₃，…，c_m是自然数1，2，3，…，m（m＞3）的一个排列．
（Ⅰ）当m=5时，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C_n}；
（Ⅱ）是否存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{C_n}，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可得，创新数列为3，4，4，5，5的所有数列 {C_n}有两个，即数列3，4，1，5，2；
或数列3，4，2，5，1．  …（4分）
（Ⅱ）存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列．
设数列{C_n} 的创新数列为{ e_n}，（n=1，2，3，4…，m），
因为e_m 是 c₁，c₂，c₃，…，c_m 中的最大值，所以 e_m=m．
由题意知，e_k为 c₁，c₂，c₃，…c_k 中最大值，所以，e_k≤e_k+1，且 e_k∈{1，2，3，…，m}．
若{ e_n}为等差数列，设其公差为d，则d=e_k+1-e_k≥0 且d∈N．
当d=0 时，{ e_n}为常数列，又 e_m=m，所以数列{ e_n}为 m，m，…，m．
此时数列{C_n}是首项为m的任意一个符合条件的数列．  …（8分）
当d=1时，因为e_m=m，所以数列{ e_n} 为1，2，…，m．
此时，数列{c_n} 为1，2，3，…，m．  …（10分）
当d≥2时，因为 e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+（m-1）2=2m-2+e₁，
又m＞3，e₁ 为正整数，所以 e_m＞m，这与 e_m=m 矛盾，所以此时{ e_n}不存在，即不存在{C_n}使得它的创新数列为公差d≥2的等差数列．…（13分）
综上，当数列{C_n}为以m为首项的任意一个符合条件的数列，或{C_n}为数列1，2，3，…，m时，它的创新数列为等差数列．…（14分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“对于数列{an} （n=1，2，…，m）.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．