在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中An，Bn，Cn，满足向量AnAn+1与向量BnCn共线

题文

在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），满足向量AnAn+1与向量BnCn共线，且点列{B_n}在斜率为6的直线上，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）试用a₁，b₁与n表示a_n（n≥2）；
（Ⅲ）设a₁=a，b₁=-a，在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，试求实数 a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）点列{B_n}在斜率为6的直线上，有 bn+1-bn(n+1)-n=6⇒bn+1-bn=6
故数列{b_n}是公差为6的等差数列．                        
（Ⅱ）由向量AnAn+1与向量BnCn共线，得直线A_nA_n+1与直线B_nC_n的斜率相等
即kAnAn+1=kBnCn，
∴an+1-an(n+1)-n=bn-0n-(n-1)=bn
∴b_n=a_n+1-a_n=b₁+6（n-1）
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+…+bn-1=a1+b1(n-1)+(n-1)(n-2)2×6
∴a_n=3n²+（b₁-9）n+6+a₁-b₁（n≥2）
（Ⅲ）由已知和（Ⅱ）可得  a_n=3n²-（a+9）n+6+2a（n≥2）
设二次函数f（x）=3x²-（a+9）x+6+2a，f（x）是开口方向向上的抛物线
又∵在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，则对称轴为x=a+96在区间[112，152]内，
即112≤a+96≤152
∴24≤a≤36

解析

bn+1-bn(n+1)-n

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．