设数列{an}的通项公式为an=2n，数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0，．试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差

题文

设数列{a_n}的通项公式为an=2n，数列{b_n}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0，（t∈R，n∈N^*）．
（1）试确定实数t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（2）当数列{b_n}为等差数列时，对每个正整数k，在a_k和a_k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，2-(t+b1)+32b1=0，得b₁=2t-4，
同理：n=2时，得b₂=16-4t；n=3时，得b₃=12-2t，则由b₁+b₃=2b₂，得t=3．…（2分）
而当t=3时，2n2-(3+bn)n+32bn=0，得b_n=2n
由b_n+1-b_n=2，知此时数列{b_n}为等差数列．…（4分）
（2）由题意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…
则当m=1时，T₁=2≠2c₂=4，不合题意，舍去；
当m=2时，T₂=c₁+c₂=4=2c₃，所以m=2成立； …（6分）
当m≥3时，若c_m+1=2，则T_m≠2c_m+1，不合题意，舍去；
从而c_m+1必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，则Tm=a1+2+…+2b1个+a2+2+…+2b2个+a3+2+…+2b3个+a4+…+ak+2+…+2bk个
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=2(2k-1)+2×(2+2k)k2=2k+1+2k2+2k-2，…（9分）
又2cm+1=2ak+1=2×2k+1，
所以2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，
所以2^k+1=k²+k=k（k+1）
因为2^k+1（k∈N^*）为奇数，而k²+k=k（k+1）为偶数，所以上式无解．
即当m≥3时，T_m≠2c_m+1
综上所述，满足题意的正整数仅有m=2．…（12分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的通项公式为an=2n，数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．