已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N*．证明数列{an}是等比数列，并写出

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{an2}的前n项和为T_n，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若Sn2-λTn＜0对n∈N^*恒成立，求λ的最小值；
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，求正整数x，y的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为(Sn-2)2+3Tn=4，
其中S_n是数列{a_n}的前n项和，T_n是数列{a2n}的前n项和，且a_n＞0，
当n=1时，由(a1-2)2+3a12=4，
解得a₁=1，…（2分）
当n=2时，由(1+a2-2)2+3(1+a22)=4，
解得a2=12； …（4分）
由(Sn-2)2+3Tn=4，
知(Sn+1-2)2+3Tn+1=4，
两式相减得(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn-4)+3a2n+1=0，
即(Sn+1+Sn-4)+3a n+1=0，…（5分）
亦即2S_n+1-S_n=2，从而2S_n-S_n-1=2，（n≥2），
再次相减得an+1=12an，(n≥2)，又a2=12a1，
所以an+1an=12，(n≥1)
所以数列{a_n}是首项为1，公比为12的等比数列，…（7分）
其通项公式为an=12n-1，n∈N^*．…（8分）
（2）由（1）可得Sn=1-(12)n1-12=2[1-(12)n]，
Tn=1-(14)n1-14=43[1-(14)n]，…（10分）
若Sn2-λTn＜0对n∈N^*恒成立，
只需λ＞Sn2Tn=3×1-(12)n1+(12)n=3-62n+1对n∈N^*恒成立，
∵3-62n+1＜3对n∈N^*恒成立，∴λ≥3．
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x，y为正整数，
则12n-1，2x2n，2y2n+1成等差数列，
整理，得2^x=1+2^y-2，
当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，
等式不能成立，
∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．

解析

a2n

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．