已知数列{an}是首项a1=133，公比q=133的等比数列，设bn+15log3an=t，常数t∈N*，数列{cn}满足cn=anbn．求证：{bn}是

题文

已知数列{a_n}是首项a1=133，公比q=133的等比数列，设b_n+15log₃a_n=t，常数t∈N^*，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（3）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知，an=(133)n，（1分）
因为bn+1-bn=-15log3(an+1an)=5，b₁=-15log₃a₁+t=t+5
∴数列b_n是首项为b₁=t+5，公差d=5的等差数列．（4分）
（2）由（1）知，b_n=5n+t，cn=(5n+t)(133)n，cn+1-cn=(5n+5+t33-5n-t)(133)n＜0恒成立，即t＞-5n+533-1恒成立，（7分）
因为f(n)=-5n+533-1是递减函数，
所以，当n=1时取最大值，f(n)max=-5+533-1≈6.3，（9分）
因而t＞6.3，因为t∈N，所以t=7．（10分）
（3）记5k+t=x，ck=(5k+t)(133)k=x(133)k，ck+1=(5k+5+t)(133)k+1=(x+5)(133)k+1，ck+2=(5k+10+t)(133)k+2=(x+10)(133)k+2．
①若c_k是等比中项，则由c_k+1•c_k+2=c_k²得(x+5)(133)k+1•(x+10)(133)k+2=x2(133)2k化简得2x²-15x-50=0，解得x=10或x=-52（舍），（11分）
所以5n+t=10，因而k=1t=5及k=2t=0．
又由常数t∈N^*，则k=2t=0舍去，
②若c_k+1是等比中项，则由c_k•c_k+2=c_k+1²得x(133)k•(x+10)(133)k+2=(x+5)2(133)2k+2
化简得x（x+10）=（x+5）²，显然不成立．（16分）
③若c_k+2是等比中项，则由c_k•c_k+1=c_k+2²得x(133)k•(x+5)(133)k+1=(x+10)2(133)2k+4
化简得2x²-5x-100=0，因为△=5²+4×2×100=25×33不是完全不方数，因而x的值是无理数，显然不成立．
则符合条件的k、t的值为k=1t=5．（18分）

解析

133

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项a1=133，公比.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．