已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．求a2，a3；证明数列{an-2}为等比数列；判断是否存在

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，
即an+1=an+22，（2分）∵a₁=1，∴a2=32， a3=74；（4分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a₁-2=-1，∵an+1-2an-2=an+22-2an-2=12，∴{a_n-2}是首项为-1，公比为12的等比数列；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an-2=-(12)n-1，∴an=2-(12)n-1，∵{a_n+S_n}是首项为a₁+S₁=2，公差为2的等差数列，∴a_n+S_n=2+（n-1）×2=2n，∴Sn=2n-2+(12)n-1，（9分）
设存在整数λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，
即存在整数λ，使不等式n-1+(12)n-1≥λ[2-(12)n-1]对任意的n∈N^*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1，（10分）
以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立．
当n=2时，不等式化简为32≥32，成立；
当n≥3时，∵(Sn-n+1)-an=n-3+(12)n-2＞0，∴（S_n-n+1）＞a_n成立．
综上，知存在整数λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，且λ的最大值为1．（14分）

解析

an+22

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．