已知数列an中，a1=1，a2=a-1，前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，1Sn=1an-1an+1．求证：数列Sn是等比数列；（

题文

已知数列a_n中，a₁=1，a₂=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和S_n恒为正值，且当n≥2时，1Sn=1an-1an+1．
（1）求证：数列S_n是等比数列；
（2）设a_n与a_n+2的等差中项为A，比较A与a_n+1的大小；
（3）设m是给定的正整数，a=2．现按如下方法构造项数为2m有穷数列b_n：当k=m+1，m+2，…，2m时，b_k=a_k•a_k+1；当k=1，2，…，m时，b_k=b_2m-k+1．求数列b_n的前n项和为T_n（n≤2m，n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥3时，1Sn=1an-1an+1=1Sn-Sn-1-1Sn+1-SN，
化简得S_n²=S_n-1S_n+1（n≥3），又由a₁=1，a₂=a-1得1a=1a-1-1a3，
解得a₃=a（a-1），∴S₁=1，S₂=a，S₃=a²，也满足S_n²=S_n-1S_n+1，而S_n恒为正值，
∴数列{S_n}是等比数列．（4分）
（2）S_n的首项为1，公比为a，S_n=a^n-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a-1）a^n-2，
∴a_n=1   n=1(a-1) an-2，n≥2
当n=1时，A-an+1=a1+a32-a2=a2-3a+32=12[(a-32)2+34]≥38，此时A＞a_n+1．（6分）
当n≥2时，A-an+1=an+an+22-an+1=(a-1)an-2+(a-1)an2-(a-1)an-1=(a-1)an-2(a2-2a+1)2=(a-1)3an-22．
∵S_n恒为正值∴a＞0且a≠1，
若0＜a＜1，则A-a_n+1＜0，若a＞1，则A-a_n+1＞0．
综上可得，当n=1时，A＞a_n+1；
当n≥2时，若0＜a＜1，则A＜a_n+1，
若a＞1，则A＞a_n+1．（10分）
（3）∵a=2∴a_n=1   n=1  2n-2，n≥2，当m+1≤k≤2m时，b_k=a_k•a_k+1=2^2k-3．
若n≤m，n∈N^*，则由题设得b₁=b_2m，b₂=b_2m-1，b_n=b_2m-n+1
T_n=b₁+b₂+…+b_n=b_2m+b_2m-1+…+b_2m-n+1
=24m-3+24m-5++24m-2n-1=24m-3(1-4-n)1-4-1=24m-1(1-2-2n)3．（13分）
若m+1≤n≤2m，n∈N^*，则T_n=b_m+b_m+1+b_m+2+…+b_n=
24m-1(1-2-2m)3+22m-1+22m+1++22n-3
=24m-1(1-2-2m)3+22m-1(1-4n-m)1-4=22m-1(22m-1)3．
综上得T_n=24m-1(1-2-2n)3，1≤n≤m22m-1(22m-1)3，m+1≤n≤2m．（16分）

解析

1Sn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an中，a1=1，a2=a-1（.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．