函数y=x2-x+nx2+1(n∈N+，y≠1)的最小值为an，最大值为bn，且cn=4(anbn-12)，数列{Cn}的前n项和为Sn．求数列{cn}的

题文

函数y=x2-x+nx2+1(n∈N+，y≠1)的最小值为a_n，最大值为b_n，且cn=4(a nbn-12)，数列{C_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）若数列{d_n}是等差数列，且dn=Snn+c，求非零常数c；
（3）若f(n)=dn(n+36)dn+1(n∈N+)，求数列{f（n）}的最大项． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由y=x2-x+nx2+1，(n∈N*，y≠1)，得x2(y-1)+x+y-n=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0
由题意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的两根，
∴an•b n=n-14∴Cn=4n-3，(n∈N*)
（2）Sn=2n2-n，dn=2n2-nn+c，
∴d1=11+c，d2=62+c，d3=153+c
∵{d_n}为等差数列，
∴2d₂=d₁+d₃，
∴2c²+c=0，
∴c=-12或c=0(舍)
经检验c=12时，{d_n}是等差数列，d_n=2n；
（3）f(n)=2n(n+36)(2n+2)=1n+36n+37≤137+236=149
当且仅当n=36n即n=6时取”=”∴f(n)的最大值为149.

解析

x2-x+nx2+1

考点

据考高分专家说，试题“函数y=x2-x+nx2+1(n∈N+，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．