设数列{an} 为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn} 的前n项和为Sn=1-(13)n，求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ

题文

设数列{a_n} 为等差数列，且a₅=14，a₇=20，数列{b_n} 的前n项和为S_n=1-(13)n（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，
∴公差d=12(a7-a5)=3，
∵a₅=a₁+4×3=14，
∴a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n=1-(13)n（n∈N^*），
∴b1=S1=1-13=23，
b_n=S_n-S_n-1=[1-(13)n]-[1-(13)n-1]=23n，
当n=1时，23n=23=a1，
∴bn=23 n．
（Ⅱ）由a_n=3n-1，bn=23 n，
得c_n=a_n•b_n=2(3n-1)•13n，
∴Tn=2[2•13+5•13 2+8•13 3+…+(3n-1)•13 n]，
13T_n=2[2•13 2+5•133+…+(3n-4)•13 n+(3n-1)•13 n+1]，
两式相减，得23Tn=2[3•13+3•13 2+3•13 3+…++3•13 n-13-(3n-1)•13 n+1]，
∴Tn=72-72•13 n-n3 n-1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an} 为等差数列，且a5=14.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．