已知数列{an}、{bn}满足：a1=14，bn+1=bn1-an2an+bn=1．求证：数列{1bn-1}是等差数列；求数列{an}的通项公式；（

题文

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a1=14，bn+1=bn1-an2a_n+b_n=1．
（1）求证：数列{1bn-1}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设s_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…a_na_n+1，若4aS_n＜b_n对于n∈N^*恒成立，试求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+b_n=1，得b_n=1-a_n，
依题意bn+1=bn1-a2n=1-an(1-an)(1+an)=11+an∴1bn+1-1-1bn-1=111+an-1-11-an-1=-1an-1+1an=-1∵a1=14，∴b1=34，1b1-1=-4，∴数列{1bn-1}是以-4为首项公差为-1的等差数列
（2）由（1）知1bn-1=-4+(n-1)(-1)=-n-3，
则bn=-1n+3+1=n+2n+3，an=1-bn=1-n+2n+3=1n+3
（3）S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=14×5+15×6+1(n+3)•(n+4)=14-15+15-16+1n+3-1n+4=14-1n+4=n4(n+4)∴4aS_n-b_n=ann+4-n+2n+3=(a-1)n2+(3a-6)n-8(n+3)(n+4)
依题意可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，令f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数性质知f（n）＜0不可能成立
当a＜1时，此二次函数的对称轴为x=-3a-62(a-1)=-32(1-1a-1)＜0
则f（n）在n∈N^*上是单调递减，∴要使f（n）＜0对n∈N^*恒成立
必须且只须f（1）＜0即4a-15＜0，∴a＜154，又a＜1∴a＜1
综上a≤1，4aS_n≤b_n对于n∈N^*恒成立．

解析

bn1-a2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}、{bn}满足：a1=1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．