已知{an}是等差数列，公差d＞0，前n项和为Sn且满足a3•a4=117，a2+a5=22．对于数列{bn}，其通项公式bn=Snn+C，如果数列{bn}也是

题文

已知{a_n}是等差数列，公差d＞0，前n项和为S_n且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．对于数列{b_n}，其通项公式bn=Snn+C，如果数列{b_n}也是等差数列．
（1）求非零常数C的值；      
（2）试求函数f(n)=bn(n+36)bn+1（n∈N^*）的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}为等差数列，∴a₃+a₄=22…（1分）
由a₃•a₄=117，a₃+a₄=22知a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的两个根
又d＞0
∴a₃=9，a₄=13                                      …（2分）
∴d=4，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3                            …（3分）
∴Sn=a1+an2=n(1+4n-3)2=n(2n-1)…（4分）
∴bn=n(2n-1)n+c
∵数列{b_n}也是等差数列
∴2b₂=b₁+b₃…（6分）
解得：c=-12或0（舍）
当c=-12时，b_n=2n满足题意．                      …（7分）
（2）∵f(n)=bn(n+36)bn+1=2n(n+36)2(n+1)=nn2+37n+36=1n+36n+37≤1236+37=149
当且仅当n=36n即n=6时取等号．
∴f（n）的最大值为149．                             …（14分）

解析

a1+an2

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是等差数列，公差d＞0，前n.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．