设数列{an}满足a1=0，4aa+1=4an+24an+1+1，令bn=4an+1．试判断数列{bn}是否为等差数列？若cn=1an+1，求{cn

题文

设数列{a_n}满足a1=0，4aa+1=4an+24an+1+1，令bn=4an+1．
（1）试判断数列{b_n}是否为等差数列？
（2）若cn=1an+1，求{c_n}前n项的和S_n；
（3）是否存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得an+1+14=an+14+an+14+14，
∴4an+1+=4an+1+24an+1+1，
∵bn=4an+1
所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1
∴b_n+1=b_n+1，
所以数列{b_n}为等差数列；
（2）由（1）得：b_n+1=b_n+1且b₁=1，∴b_n=n，
即4an+1=n，∴an=n2-14，
∴cn=1an+1=4n(n+2)=2(1n-1n+2)，
则Sn=c1+c2+… +cn=2(1-13+12-14+…+1n-1n+2)=2(1+12-1n+1-1n+2)=3-2(2n+3)(n+1)(n+2)；
（3）设存在m，n满足条件，则有1•a_n=a_m²
∴n2-14=(m2-14)2，
即4（n²-1）=（m²-1）²，
所以m²-1必为偶数，设为2t，
则n²-1=t²，∴n²-t²=1
∴（n-t）（n+t）=1，
∴有n+t=1n-t=1或n+t=-1n-t=-1，即n=1，t=0，
∴m²-1=2t=0，∴m=1与已知矛盾．
∴不存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足a1=0，4aa+1=.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．