已知数列{an}前n项和Sn=2an+2n，证明数列{an2n-1}是等差数列，并求{an}的通项公式；若bn=(n-2011)ann+1，求数列{

题文

已知数列{a_n}前n项和Sn=2an+2n，
（Ⅰ）证明数列{an2n-1}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=(n-2011)ann+1，求数列{b_n}是否存在最大值项，若存在，说明是第几项，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|，试比较Tn+Sn2与2-n1+nan的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由Sn=2an+2n①，得Sn+1=2an+1+2n+1②，
②-①得，a_n+1=2a_n+1-2a_n+2ⁿ，即an+1-2an=-2n，
则an+12n-an2n-1=an+1-2an2n=-2n2n=-1，为常数，
所以数列{an2n-1}是等差数列，且公差为-1，
由S₁=2a₁+2解得a₁=-2，
所以an2n-1=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，
所以an=-(n+1)•2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=(n-2011)ann+1=(n-2001)[-(n+1)]•2n-1n+1=•2^n-1，
则bn+1=(2010-n)•2n，当n=2011时，b_n=0，
当n＞2011时，b_n＜0，令bn+1bn=(2010-n)•2n(2011-n)•2n-1=2(2010-n)2011-n≥1，得n＞2011，所以b_n＞b_n+1，即b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，
当n≤2010时，b_n＞0，令bn+1bn=(2010-n)•2n(2011-n)•2n-1=2(2010-n)2011-n≥1，解得n≤2009，
所以n≤2009时，b_n+1≥b_n，所以0＜b₁＜b₂＜b₃＜…＜b₂₀₀₉=b₂₀₁₀，
综上，b₁＜b₂＜b₃＜…b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，
所以数列{b_n}存在最大值项，为第2009项或2010项；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，Sn=2an+2n=2[-（n+1）•2^n-1]+2ⁿ=-n•2ⁿ，
所以|S_n|=n•2ⁿ，
则T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹②，
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2(1-2n)1-2-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
所以Tn+Sn2=(n-1)2n+1+2-n•2n2=(n-2)•2n+22=（n-2）•2^n-1+1，
又2-nn+1an=2-nn+1•[-(n+1)•2n-1]=（n-2）•2^n-1，
所以Tn+Sn2＞2-nn+1an．

解析

an+12n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}前n项和Sn=2an+2.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．