已知首项为a的数列{an}的前n项和为Sn，，若对任意的正整数m、n，都有SnSm=(nm)2．证明：数列{an}是等差数列；若a=1，数

题文

已知首项为a（a≠0）的数列{a_n}的前n项和为S_n，，若对任意的正整数m、n，都有SnSm=(nm)2．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若a=1，数列{b_n}的首项为b（b≠1），第n（n∈N^*，n≥2）项b_n是数列{a_n}的第b_n-1项，求证：数列|b_n-1|为等比数列；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中的数列{a_n}和{b_n}及任意正整数n，均有2an+b_n+11≥0成立，求实数b的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：在SnSm=(nm)2中，取m=1，得Sn1=n2，即S_n=n²a，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²a-（n-1）²a=（2n-1）a，
当n=1时，a₁=a也适合上式，
∴a_n=（2n-1）a，n∈N⁺，
∵a_n+1-a_n=2a，
∴{a_n}是以a为首项，2a为公差的等差数列．
（Ⅱ）证明：当a=1时，由（Ⅰ）可得a_n=2n-1，
∴b_n=2b_n-1-1，
即有b_n-1=2（b_n-1-1），
b₁-1=b-1≠0，
∴{b_n-1}是以b-1为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n-1=（b-1）•2^n-1，
∴b_n=1+（b-1）•2^n-1，
∴由题意得，不等式2^2n-1+（b-1）•2^n-1+12≥0对任意正整数n恒成立，
即b-1≥-22n-1+122n-1=-(2n+242n)恒成立．
设t=2ⁿ（t=2，4，8，…），则b-1＞-(t+24t)恒成立，
对于函数y=x+24x，
y′= 1-24x2=(x+26)(x-26)x2．
当x∈(-26，26)时，y′＜0，当x∈(-∞，-26)和（26，+∞）时，y′＞0，
∴函数y=x+24x在(-26，26)上单调减，在(-∞，-26)和（26，+∞）上单调增．
又当x=4时，y=10；当x=8时，y=11，∴y=t+24t的最小值是10．∴b-1≥[-(2n+242n)]min=-10．
即b≥-9，
∴实数b的最小值是-9．

解析

SnSm

考点

据考高分专家说，试题“已知首项为a（a≠0）的数列{an}的前.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．