已知数列{an}、{bn}满足：a1=14，an+bn=1，bn+1=bn1-an2．求a2，a3；证数列{1an}为等差数列，并求数列{an}和{

题文

已知数列{ a_n}、{ b_n}满足：a1=14，an+bn=1，bn+1=bn1-an2．
（1）求a₂，a₃；
（2）证数列{1an}为等差数列，并求数列{a_n}和{ b_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数λ为何值时4λS_n＜b_n恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a1=14，∴b1=1-14=34，b2=b11-a12=341-(14)2=45，
a2=1-b2=1-45=15，b3=b21-a22=451-(15)2=56，a3=1-b3=1-56=16．
∴a2=15，a3=16；
（2）证明：由an+1+bn+1=1，bn+1=bn1-an2，
∴1-an+1=bn+1=bn1-an2=1-an(1-an)(1+an)=11+an，
∴1-an+1=11+an，即a_n-a_n+1=a_na_n+1，
∴1an+1-1an=1
∴数列{1an}是以4为首项，1为公差的等差数列．
∴1an=4+(n-1)=3+n，则an=1n+3，
∴bn=1-an=1-1n+3=n+2n+3；
（3）由an=1n+3，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=14×5+15×6+…+1(n+3)(n+4)
=14-15+15-16+…+1n+3-1n+4
=14-1n+4=n4(n+4)．
∴4λSn-bn=λnn+4-n+2n+3=(λ-1)n2+(3λ-6)n-8(n+3)(n+4)，
要使4λS_n＜b_n恒成立，只需（λ-1）n²+（3λ-6）n-8＜0恒成立，
设f（n）=（λ-1）n²+3（λ-2）n-8
当λ=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，
当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N^*恒成立，
当λ＜l时，对称轴n=-32•λ-2λ-1=-32(1-1λ-1)＜0
f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．
只需f（1）=（λ-1）n²+（3λ-6）n-8=（λ-1）+（3λ-6）-8=4λ-15＜0
∴λ＜154，∴λ≤1时4λS_n＜b_n恒成立．
综上知：λ≤1时，4λS_n＜b_n恒成立．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}、{bn}满足：a1=1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．