已知数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S2n=3n2an+S2n-1，an≠0，n≥2，n∈N*．若数列{an}是等差数列

题文

已知数列{a_n}的首项a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：S2n=3n²a_n+S2n-1，a_n≠0，n≥2，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是递增数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在S2n=3n²a_n+S2n-1中分别令n=2，n=3，及a₁=a
得（a+a₂）²=12a₂+a²，（a+a₂+a₃）²=27a₃+（a+a₂）²，
因为a_n≠0，所以a₂=12-2a，a₃=3+2a．                          …（2分）
因为数列{a_n}是等差数列，所以a₁+a₃=2a₂，
即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）
经检验a=3时，a_n=3n，S_n=3n(n+1)2，S_n-1=3n(n-1)2
满足S2n=3n²a_n+S2n-1．
（2）由S2n=3n²a_n+S2n-1，得S2n-S2n-1=3n²a_n，
即（S_n+S_n-1）（S_n-S_n-1）=3n²a_n，
即（S_n+S_n-1）a_n=3n²a_n，因为a_n≠0，
所以S_n+S_n-1=3n²，（n≥2），①…（6分）
所以S_n+1+S_n=3（n+1）²，②
②-①，得a_n+1+a_n=6n+3，（n≥2）．③…（8分）
所以a_n+2+a_n+1=6n+9，④
④-③，得a_n+2-a_n=6，（n≥2）
即数列a₂，a₄，a₆，…，及数列a₃，a₅，a₇，…都是公差为6的等差数列，…（10分）
因为a₂=12-2a，a₃=3+2a．
∴a_n=a，n=13n+2a-6，n为奇数且n≥33n-2a+6，n为偶数  …（12分）
要使数列{a_n}是递增数列，须有a₁＜a₂，且当n为大于或等于3的奇数时，a_n＜a_n+1，
且当n为偶数时，a_n＜a_n+1，即a＜12-2a，
3n+2a-6＜3（n+1）-2a+6（n为大于或等于3的奇数），
3n-2a+6＜3（n+1）+2a-6（n为偶数），
解得94＜a＜154．
所以M=（94，154），当a∈M时，数列{a_n}是递增数列．              …（16分）

解析

S2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=a，Sn是数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．