已知两点M，N且点P使MP•MN，PM•PN，NM•NP成等差数列．若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；从定点A出

题文

已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使MP•MN，PM•PN，NM•NP成等差数列．
（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；
（2）从定点A（2，4）出发向曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线的直线方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设动点P（x，y），
则PM=-MP=(-1-x，-y)，PN=-NP=(1-x，-y)，
MN=-NM=(2，0)MP•MN=2(1+x)，
PM•PN=x2+y2-1，NM•NP=2(1-x)
于是由MP•MN+NM•NP=2PM•PN得：2（x²+y²-1）=2（1+x）+2（1-x），
化简得：x²+y²=3即为所求的轨迹方程；
（2）设切线方程为y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
由|4-2k|k2+1=3⇒k=8±51，
所以切线方程为：y-4=(8±51)(x-2)，
设M、N为对应切线的切点，则0A²=OM²+AM²，所以|AM|=17，
所以以A为圆心AM为半径作圆其方程为（x-2）²+（y-4）²=17，
则MN即为两圆的公共弦，
所以两圆方程相减得到公共弦MN方程为：2x+4y-3=0．

解析

PM

考点

据考高分专家说，试题“已知两点M（-1，0），N（1，0）且点.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．