已知数列{an}和{bn}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-2n3+49，{bn}的前n项和为Tn．当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a

题文

已知数列 {a_n}和{b_n}满足 a1=m，an+1=λan+n，bn=an-2n3+49，{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（Ⅱ） 当λ=-12时，试判断{b_n}是否为等比数列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤T_n≤2对任意的n∈N^*恒成立，求实数m的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当m=1时，a1=1．a2=λ+1，a3=λ(λ+1)+2=λ2+λ+2…（2分）
假设{an}是等差数列，由a1+a3=2a2，得λ2+λ+3=2(λ+1)
即λ²-λ+1=0，△=-3＜0，方程无实根．
故对于任意的实数λ，
{a_n}一定不是等差数列…（5分）
（Ⅱ）当λ=-12时，an+1=-12an+n，bn=an-2n3+49bn+1=an+1-2(n+1)3+49=(-12an+n)-2(n+1)3+49=-12an+n3-29
=-12(an-2n3+49)=-12bn又b1=m-23+49=m-29
∴当m≠29时，{bn}是以m-29为首项，-12为公比的等比数列…（9分）
当m=29时，{bn}不是等比数列…（10分）
（Ⅲ）当m=29，Tn=0，不成立…（11分）
当m≠29时Tn=23(m-29)[1-(-12)n]
当n为奇数时[1-(-12)n]∈(1，32]，
当n为偶数[1-(-12)n]∈[34，1)…（14分）
∵1≤T_n≤2对任意的n∈N^*恒成立，
∴23(m-29)×32≤223(m-29)×34≥1解得m=209
从而求得m=209…（16分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}满足a1=m，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．