题文
设fk(n)=c0+c1n+c2n2+…+cknk(k∈N)，其中c0，c1，c2，…，ck为非零常数，数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）．（1）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明：∵k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，即c=2a1=2．
而且当n≥2时，由an+Sn=2 可得①an-1+Sn-1=2，②，把①-②可得 2an-an-1=0（n∈N，n≥2）．
若an=0，则an-1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0(n∈N*)．
故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列．
（2）（i） 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．
（ii） 若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），则 当n≥2时，由an+Sn=bn+c ③，可得an-1+Sn-1=b（n-1）+c．④
③-④得 2an-an-1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b-d（常数），
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），
故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．
（iii） 若k=2，设f2(n)=an2+bn+c（a≠0，a，b，c是常数），
当n≥2时，由 an+Sn=an2+bn+c ⑤，可得 an-1+Sn-1=a(n-1)2+b(n-1)+c ⑥，
⑤-⑥得 2an-an-1=2an+b-a（n∈N，n≥2）．
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2an+b-a-d，且d=2a，
考虑到a1=1，所以an=1+（n-1）•2a=2an-2a+1（n∈N*）．
故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2an-2a+1（n∈N*），
此时f2(n)=an2+(a+1)n+1-2a（a为非零常数）．
（iv） 当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．
解析
12考点
据考高分专家说，试题“设fk(n)=c0+c1n+c2n2+….....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
