设数列{bn}满足bn+2=-bn+1-bn，(n∈N*)，b2=2b1．若b3=3，求b1的值；求证数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列；

题文

设数列{b_n}满足bn+2=-bn+1-bn，(n∈N*)，b2=2b1．
（I）若b₃=3，求b₁的值；
（II）求证数列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差数列；
（III）设数列{T_n}满足：Tn+1=Tnbn+1(n∈N*)，且T1=b1=-12，若存在实数p，q，对任意n∈N^*都有p≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜q成立，试求q-p的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵b_n+2=-b_n+1-b_n，
∴b₃=-b₂-b₁=-3b₁=3，
∴b₁=-1．（3分）
（Ⅱ）∵b_n+2=-b_n+1-b_n①
∴b_n+3=-b_n+2-b_n+1②，
②-①得b_n+3=b_n （5分）
∴（b_n+1b_n+2b_n+3+n+1）-（b_nb_n+1b_n+2+n）=b_n+1b_n+2（b_n+3-b_n）+1=1为常数
∴数列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差数列． （7分）
（Ⅲ）∵T_n+1=T_n•b_n+1=T_n-1b_nb_n+1=T_n-2b_n-1b_nb_n+1=…=b₁b₂b₃…b_n+1
当n≥2时T_n=b₁b₂b₃…b_n（*），当n=1时T₁=b₁适合（*）式
∴T_n=b₁b₂b₃…b_n（n∈N^*）． （9分）
∵b1=-12，b₂=2b₁=-1，b3=-3b1=32，b_n+3=b_n，
∴T1=b1=-12，T2=T1b2=12，
T3=T2b3=34，T4=T3b4=T3b1=34T1，
T5=T4b5=T2b3b4b5=T2b1b2b3=34T2，T6=T5b6=T3b4b5b6=T3b1b2b3=34T3，
…T_3n+1+T_3n+2+T_3n+3=T_3n-2b_3n-1b_3nb_3n+1+T_3n-1b_3nb_3n+1b_3n+2+T_3nb_3n+1b_3n+2b_3n+3
=T_3n-2b₁b₂b₃+T_3n-1b₁b₂b₃+T_3nb₁b₂b₃=34(T3n-2+T3n-1+T3n)，
∴数列{T3n-2+T3n-1+T3n}(n∈N*)是等比数列
首项T1+T2+T3=34且公比q=34 （11分）
记S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n
①当n=3k（k∈N^*）时，S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）=34[1-(34)k]1-34=3[1-(34)k]
∴34≤Sn＜3； （13分）
②当n=3k-1（k∈N^*）时S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）-T_3k
=3[1-(34)k]-(b1b2b3)k=3-4•(34)k
∴0≤S_n＜3； （14分）
③当n=3k-2（k∈N^*）时S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）-T_3k-1-T_3k
=3[1-(34)k]-(b1b2b3)k-1b1b2-(b1b2b3)k=3[1-(34)k]-12(34)k-1-(34)k=3-143•(34)k
∴-12≤Sn＜3 （15分）
综上得-12≤Sn＜3则p≤-12且q≥3，
∴q-p的最小值为72． （16分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设数列{bn}满足bn+2=-bn+1-.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．