若数列{an}是等比数列，则下列命题正确的个数是①{an2}，{a2n}是等比数列②{lgan}是等差数列③{1an}，{|an|}是等比数列④{can

题文

若数列{a_n}是等比数列，则下列命题正确的个数是（ ）
①{an2}，{a_2n}是等比数列   
②{lga_n}是等差数列
③{1an}，{|a_n|}是等比数列   
④{ca_n}，{a_n±k}（k≠0）是等比数列．A．4B．3C．2D．1 题型：未知 难度：其他题型

答案

若数列{a_n}是等比数列，且首项为a₁，公比为q，则a_n=a₁•q^n-1，
则an2=a₁²•q^2（n-1），这是一个以a₁²为首项，以q²为公比的等比数列，a_2n=a₁•q^2n-1=a₁q•q^2（n-1）=a₂•q^2（n-1），这是一个以a₂为首项，以q²为公比的等比数列，故①正确；
当q＜0时，数列{a_n}存在负项，此时lga_n无意义，故②错误；
1an=1a1•1q^（n-1），这是一个以1a1为首项，以1q为公比的等比数列，|a_n|=|a₁|•|q|^n-1，这是一个以|a₁|为首项，以|q|为公比的等比数列，故③正确；
当c=0时，ca_n=0，此时数列{ca_n}不是等比数列，当k=-a₁时，a₁+k=0，此时{a_n+k}不是等比数列，当k=a₁时，a₁-k=0，此时{a_n-k}不是等比数列，故④错误
故选C

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“若数列{an}是等比数列，则下列命题正确.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．