已知函数f=x-4x+4的反函数为f-1，数列{an}满足：a1=1，an+1=f-1，，数列b1，b2-b1，b3-

题文

已知函数f（x）=x-4x+4（x≥4）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为13的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列；
（Ⅱ）若c_n=an•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=x-4x+4（x≥4），即y=x-4x+4（x≥4），
∴x=y+2（y≥0），∴f-1(x)=(x+2)2 （x≥2），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=(an+2)2，
即an+1-an=2 （n∈N^*）．
∴数列{an}是以a1=1为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：an=1+2(n-1)=2n-1，
即an=(2n-1)2 （n∈N^*）．
由b₁=1，当n≥2时，bn-bn-1=1×(13)n-1=(13)n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+13+(13)2+…+(13)n-1
=1×(1-(13)n)1-13
=32(1-13n)．
因而bn=32(1-13n) （n∈N^*）．
由c_n=an•b_n，得：cn=(2n-1)2•32(1-13n)=32(2n-1)(1-13n)，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=32(1-13)+32(3-332)+32(5-533)+…+32(2n-1-2n-13n)
=32[(1+3+5+…+2n-1)-(13+332+533+…+2n-13n)]．
令Tn=13+332+533+…+2n-13n   ①
则13Tn=132+333+534+…+2n-33n+2n-13n+1  ②
①-②得，23Tn=13+2(132+133+…+13n)-2n-13n+1
=13+2×19(1-13n-1)1-13-2n-13n+1
=13+13(1-13n-1)-2n-13n+1．
∴Tn=1-n+13n．
又1+3+5+…+（2n-1）=n²．
∴Sn=32(n2-1+n+13n)．

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x-4x+4（x≥4）.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．