已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1=a4=14．求数列{an}的通项公式；设由bn=Snn+c（c≠

题文

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁=a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设由b_n=Snn+c（c≠0）构成的新数列为{b_n}，求证：当且仅当c=-12时，数列{b_n}是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列{b_n}，设c_n=8(an+7)•bn（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和为T_n，现有数列{f（n）}，f（n）=T_n•（a_n+3-8bn）•0.9ⁿ（n∈N^*），是否存在n₀∈N^*，使f（n）≤f（n₀）对一切n∈N^*都成立？若存在，求出n₀的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等差数列{a_n}中，公差d＞0，
∴a2•a3=45a1+a4=14⇒a2•a3=45a2+a3=14⇒a2=5a3=9⇒d=4⇒an=4n-3（3分）
（3分）
（2）Sn=n(1+4n-3)2=n(2n-1)，bn=Snn+c=n(2n-1)n+c，
由2b₂=b₁+b₃得 122+c=11+c+153+c，化简得2c²+c=0，c≠0，
∴c=-12
反之，令 c=-12，即得b_n=2n，显然数列{b_n}为等差数列，
∴当且仅当 c=-12时，数列{b_n}为等差数列．（9分）
（3）c_n=8(an+7)•bn=1(n+1)n=1n-1n+1，∴Tn=1-12+12-13+…+1n-1n+1
f（n）=Tn•（an+3-8bn）•0.9ⁿ=nn+1•(4n-4n) •0.9n=4（n-1）•0.9ⁿ（11分）
∵f（n+1）-f（n）=4•0.9ⁿ[0.9n-（n-1）]=4•0.9ⁿ[1-0.1n]n∈N⁺
∴当n＜10时，f（n+1）＞f（n），当n=10时，f（n+1）=f（n），当n＞10时，f（n+1）＜f（n），
f（n）_max=f（10）=f（11），（13分）
∴存在n₀=10或11，使f（n）≤f（n₀）对一切n∈N^*都成立．（14分）

解析

a2•a3=45a1+a4=14

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．