已知数列{an}中，a1=0，an+1=12-an，．求证：数列{1an-1}为等差数列；设数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn＜n-

题文

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=12-an，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{1an-1}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）设b_n=a_n（910）ⁿ，证明：对任意的正整数n、m均有|b_n-b_m|＜35． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为1an+1-1=112-an-1=2-anan-1=-1+1an-1，
即1an+1-1-1an-1=-1.
所以数列{1an-1}为等差数列
（Ⅱ）由（1）知：1an-1=1a1-1+（n-1）×（-1）=-n
所以a_n=1-1n
设f（x）=x-ln（x+1）（x＞0），则f′（x）=1-1x+1＞0
∴f（x）在（0，+∞）为递增函数，且f（x）在[0，+∞]上连续．
∴f（x）＞f（0）=0，∴当x＞0时，x＞ln（x+1）成立．
所以ln（1+1n）＜1n，1-1n＜1-ln（1+1n）
所以a_n=1-1n＜1-ln（n+1）+lnn
所以S_n＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）++[1-ln（n+1）+lnn]
即S_n＜n-ln（n+1）
（Ⅲ）因为b_n=n-1n×（910）ⁿ，
当bnbn+1=n-1n×n+1n×109=n2-1n2×109，
当bnbn+1=n2-1n2×109＞1，n＞10，即n≥4
当bnbn+1=n2-1n2×109＜1，n＜10，即n≤3．
所以b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞
又因为n≥2时，b_n＞0，并且b₁=0，所以0≤b_n≤b₄
对任意的正整数n、m，均有|b_n-b_m|的最大值为
b₄-b₁=34×（910）⁴-0=1968340000＜2400040000=35
所以对任意的正整数n、m，均有|b_n-b_m|＜35

解析

1an+1-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=0，an+1=.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．