已知函数f=3x2+1，g=2x，数列{an}满足对于一切n∈N*有an＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+32)．数列{bn}满足b

题文

已知函数f（x）=3x²+1，g（x）=2x，数列{a_n}满足对于一切n∈N^*有a_n＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+32)．数列{b_n}满足bn=logana，设k，l∈N*，bk=11+3l，bl=11+3k．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求数列{b_n}的通项公式．
（3）若k+l=M₀（M₀为常数），求数列{a_n}从第几项起，后面的项都满足a_n＞1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(an+1)-f(an)=g(an+1+32)
∴3(an+1)2+1-3an2-1=2(an+1+32)，即6a^=2an+1⇒an+1an=3
故数列{a_n}为等比数列，公比为3．
（2）bn=logana⇒1bn=logaan⇒1bn+1-1bn=logaan+1an=loga3
所以数列{1bn}是以1b1为首项，公差为log_a3的等差数列．
又loga3=1bk-1blk-l=1+3l-1-3kk-l=-3⇒a=3-13=(13)13
又1bk=1b1+(k-1)(-3)=1+3l，且k+l=9
∵1b1=3(k+l)-2=25
∴1bn=25+(n-1)(-3)=28-3n⇒bn=128-3n
（3）∵k+l=M₀⇒1b1=3M0-2
∴1bn=3M0-2+(n-1)(-3)=3M0-3n+1
假设第m项后有a_n＞1
∵a=(13)13∈(0，1)⇒1bn=logaan＜0
即第m项后1bn＜0，
于是原命题等价于1bm＞01bm+1＜0⇒3M0-3m+1＞0      3M0-3(m+1)+1＜0⇒M0-23＜m＜M0+13
∵m，M∈N^*⇒m=M₀故数列{a_n}从M₀+1项起满足a_n＞1．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=3x2+1，g（x）=.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．