设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．求数列{an}的通项公式；在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组

题文

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n≥2时，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+
两式相减可得：a_n+1-a_n=2a_n，∴a_n+1=3a_n，即数列{a_n}的公比为3
∵n=1时，a₂=2S₁+2，∴3a₁=2a₁+2，解得a₁=2，
∴a_n=2×3^n-1；
（2）由（1）知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，
因为a_n+1=a_n+（n+1）d_n，所以d_n=4×3n-1n+1
第n个等差数列的和是A_n=（n+2）a_n+(n+2)(n+1)2×4×3n-1n+1=4（n+2）×3^n-1=（n+2）（n+1）d_n，
∴存在一个关于n的多项式g（n）=（n+2）（n+1），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立；
（3）假设在数列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列
则d_k²=d_md_p，即（4×3k-1k+1）²=4×3m-1m+1×4×3p-1p+1
因为m，k，p成等差数列，所以m+p=2k①
上式可以化简为k²=mp②
由①②可得m=k=p这与题设矛盾
所以在数列{dn}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．

解析

4×3n-1n+1

考点

据考高分专家说，试题“设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．