已知i=(1，0)，jn=(cos2nπ2，sinnπ2)，Pn=(an，sinnπ2)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+jn

题文

已知i=(1，0)，jn=(cos2nπ2，sinnπ2)，Pn=(an，sinnπ2)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+jn)•Pn．
（I）求证：数列{a_2k-1}是等差数；数列{a_2k}是等比数列；（其中k∈N^*）；
（II）记a_n=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）an+2=(i+jn)•Pn=[(1，0)+(cos2nπ2，sinnπ2)]•(an，sinnπ2)=(1+cos2nπ2，sinnπ2)•(an，sinnπ2)
=(1+cos2nπ2)an+sinnπ2，…（2分）
当n=2k-1（k∈N^*）时，
a2k+1=[1+cos2(2k-1)π2]a2k-1+sin22k-12π
=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，…（4分）当n=2k(k∈N*)时，a2k+2=(1+cos22kπ2)a2k+sin22kπ2=2a2k．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，…（6分）
（II）由（I）可知：a_2k-1=k，a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=n+12，n=2k-1(k∈N*)2n2，n=2k(k∈N*).…（7分）
当n为奇数时，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0⇔λ≥f(n2)f(2n)=n2+12n+1
令g（n）=n2+12n-1⇒g(n+1)-g(n)=2n-n22n＜0⇒g（n+1）＜g（n）
所以g（n）为单调递减函数，∴g（n）_max=g（3）=58⇒λ≥58…（10分）
当n为偶数时，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0⇔λ≤f(n2)f(2n)=2(n-1)2-12
令h(n)=2(n-1)2-12，显然h（n）为单调递增函数，
h（n）_min=h（2）=1⇒λ≤1
综上，λ的取值范围是[58，1]…（12分）

解析

i

考点

据考高分专家说，试题“已知i=(1，0)，jn=(cos2nπ.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．