已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和．若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列；设S3=32，S6=2116，bn=

题文

已知数列{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和．
（1）若S₄，S₁₀，S₇成等差数列，证明a₁，a₇，a₄也成等差数列；
（2）设S3=32，S6=2116，b_n=λa_n-n²，若数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：设数列{a_n}的公比为q，
因为S₄，S₁₀，S₇成等差数列，所以q≠1，且2S₁₀=S₄+S₇．
所以2a1(1-q10)1-q=a1(1-q4)1-q+a1(1-q7)1-q，
因为1-q≠0，所以1+q³=2q⁶．
所以a₁+a₁q³=2a₁q⁶，即a₁+a₄=2a₇．
所以a₁，a₇，a₄也成等差数列．
（2）因为S3=32，S6=2116，
所以a1(1-q3)1-q=32，①a1(1-q6)1-q=2116，②
由②÷①，得1+q3=78，所以q=-12，代入①，得a₁=2．
所以an=2•(-12)n-1，
又因为b_n=λa_n-n²，所以bn=2λ(-12)n-1-n2，
由题意可知对任意n∈N^*，数列{b_n}单调递减，
所以b_n+1＜b_n，即2λ(-12)n-(n+1)2＜2λ(-12)n-1-n2，
即6λ(-12)n＜2n+1对任意n∈N^*恒成立，
当n是奇数时，λ＞-(2n+1)2n6，当n=1时，-(2n+1)2n6取得最大值-1，
所以λ＞-1；
当n是偶数时，λ＜(2n+1)2n6，当n=2时，(2n+1)2n6取得最小值103，
所以λ＜103．
综上可知，-1＜λ＜103，即实数λ的取值范围是(-1，103)．

解析

2a1(1-q10)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．