若有穷数列{an} 满足条件a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即ai=an-i+1，则称数列{an} 为“对称数列”．例如，数列

题文

若有穷数列{a_n} 满足条件a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i=1，2，…，n），则称数列{a_n} 为“对称数列”．例如，数列1，2，3，2，1与数列4，2，1，1，2，4都是“对称数列”．
（Ⅰ）设{b_n}是21项的“对称数列”，其中b₁，b₂，…，b₁₁是等比数列，且b₂=2，b₅=16，求{b_n}的所有项的和S；
（Ⅱ）设{c_n}是22项的“对称数列”，其中c₁₂，c₁₃，…，c₂₂是首项为22，公差为-2的等差数列，求{c_n}的前n项和T_n（1≤n≤22，n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列b_n的公比为q，则b₅=b₂q³=2q³=16，解得q=2，
S=b₁+b₂+..+b₂₁=2（b₁+b₂++b₁₁）-b₁₁=2（1+2+2²++2¹⁰）-2¹⁰=2（2¹¹-1）-2¹⁰=3070．（6分）
（Ⅱ）∵数列c_n是“对称数列”，其中c₁₂，c₁₃，，c₂₂是首项为22，公差为-2的等差数列，
∴c₂₂=22-2×10=2，∴c₁，c₂，，c₁₁是首项为2，公差为2的等差数列．
当1≤n≤11时，T_n=c₁+c₂+…+c_n=2n+n(n-1)2•2=n2+n，
当12≤n≤22时，T_n=c₁+c₂+..+c_n=T₁₁+（c₁₂+c₁₃++c_n）=132+22•(n-11)+(n-11)(n-12)2×(-2)=-n²+45n-242，
综上所述，Tn=n2+n，1≤n≤11.   -n2+45n-242，12≤n≤22（13分）

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“若有穷数列{an} 满足条件a1=an，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．