在数列{an}中，a1=1，an+1=anc-an+1且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．求证：数列{1an}是等差数列

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=anc-an+1（c为常数，n∈N^*）且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（1）求证：数列{1an}是等差数列
（2）求c的值
（3）设b_n=a_n•a_n+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵a_n+1=anc•an+1
∴1an+1=c•an+1an=1an+c
∴数列{1an}是等差数列；
（2）由（1）知数列{1an}是以1为首项，c为公差的等差数列，
∴1an=1+（n-1）c=cn+1-c，
∴a_n=1cn+1-c
∴a₂=1c+1，a₅=14c+1，
因为a₁，a₂，a₅成等比数列，
所以(1c+1)2=14c+1×1，
解得c=0或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₅，不符合题意舍去，
故c=2；
（3）证明：由（2）知a_n=12n-1，b_n=a_n•a_n+1=12n-1•12n+1=12(12n-1-12n+1)
∴S_n=12(1-13+13-15+…+ 12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)＜12
故S_n＜12．

解析

anc•an+1

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+1=a.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．