题文
已知数列{an}满足：a1=2t-3（t∈R且t≠±1），an+1=(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1an+2tn-1（n∈N*）．（1）当t=2时，求证：{2n-1an+1}是等差数列；
（2）若t＞0，试比较an+1与an的大小；
（3）在（2）的条件下，已知函数f（x）=xx2+4（x＞0），是否存在正整数t，使得对一切n∈N*不等式f（an+1）＜f（an）恒成立？若存在，求出t的最小值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明：当t=2时，an+1=(2n+2-3)an+2n+1-1an+2n+1-1∴an+1+1=(2n+2-2)an+2n+2-2an+2n+1-1
∴2n+1-1an+1+1=an+2n+1-12(an+1)
∴2n+1-1an+1+1-2n-1an+1=12
∴{2n-1an+1}是以12为公差的等差数列；
（2）∵an+1=(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1an+2tn-1=2(tn+1-1)(an+1)an+2tn-1
∴an+1+1tn+1-1=2(an+1)an+2tn-1=2•an+1tn-1an+1tn-1+2
令an+1tn-1=bn，则bn+1=2bnbn+2，b1=a1+1t-1=2
∴1bn-1=1bn+12，1b1=12
∴1bn=n2
∴an+1tn-1=2n
∴an=2(tn-1)n
∴an+1-an=2(tn+1-1)n+1-2(tn-1)n=2(t-1)n(n+1)[n（1+t+…+tn）-（n+1）（1+t+…+tn-1）]
=2(t-1)n(n+1)[（tn-1）+…+（tn-tn-1）]=2(t-1)2n(n+1)[（1+t+…+tn-1）+t（1+t+…+tn-2）+…+tn-1]
显然t＞0（t≠1）时，an+1-an＞0，∴an+1＞an；
（3）∵f（an+1）-f（an）=an+1an+12+4-anan2+4=(an+1-an)(an+1an-4)(an+12+4)(an2+4＜0，an+1＞an
∴an+1an-4＞0，{an}为递增数列
∴只需a1a2-4＞0
∴（2t-3）（t2-2）-4＞0
令f（t）=（2t-3）（t2-2）-4，则f′（t）=6t2-6t-8
∴t＞2时，f′（t）＞0，函数为增函数
∵f（2）=-2＜0，f（3）=17＞0
∴满足题意的最小正整数t存在，最小值为3．
解析
(2n+2-3)an+2n+1-1an+2n+1-1考点
据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=2t-3（t.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
