已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn=2-an-22n(n∈N*)求出a1的值，并用n与an表示出an+1求证存在一个等比数列{bn}，使得{a

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足Sn=2-an-22n(n∈N*)
（1）求出a₁的值，并用n与a_n表示出a_n+1
（2）求证存在一个等比数列{b_n}，使得{a_nb_n}是一个公差为3的等差数列
（3）试直接写出bn+300nan(n∈N*)的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由条件，n=1时，S₁=2-a₁-1，解得a1=12；
∵Sn=2-an-22n①，∴Sn+1=2-an+1-22n+1②，
②-①，得Sn+1-Sn=(2-an+1-22n+1)-(2-an-22n)，即an+1=an-an+1+12n，
所以an+1=12an+12n+1；
（2）证明：∵an+1=12an+12n+1，∴2n+1an+1-2nan=1，
则3×2n+1an+1-3×2nan=3，
令bn=3×2n，∵bn+1bn=2对一切n∈N^*恒成立，
所以存在等比数列{b_n}，使得{a_nb_n}是一个公差为3的等差数列；
（3）bn+300nan（n∈N^*）的最小值为1232，
由（2）知2n+1an+1-2nan=1，所以{2ⁿa_n}为公差为1的等差数列，2ⁿa_n=1+（n-1）•1=n，
所以an=n2n，又bn=3×2n，
所以bn+300nan=3×2ⁿ+3002n≥23×2n×3002n=60，
当3×2n=3002n即2ⁿ=10时取等号，
由于n∈N^*，且n=3时3×23+30023=1232，n=4时，3×24+30024=2594，
所以所求最小值为1232．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．